Question

20．（1+x+x²）（x-$\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项为m，则函数y=-x²与y=mx的图象所围成的封闭图形的面积为（　　）

• A． $\frac{625}{6}$
• B． $\frac{250}{6}$
• C． $\frac{375}{6}$
• D． $\frac{125}{6}$

Answer 1

分析 由题意，先根据二项展开式的通项求出常数项m，然后利用积分，求得图形的面积即可

解答 解：由于（x-$\frac{1}{x}$）⁶的展开式的通项为T_r+1=$（-1）^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
分别令6-2r=0可得r=3，T₄=-20，
令6-2r=-1，则r不存在，
令6-2r=-2可得r=4，T₅=15x^-2，
∴m=-20×1+15x^-2×x²=-5，
∴y=-x²与y=mx=-5x的交点O（0，0），A（5，-25），
图象围成的封闭图形的面积S=${∫}_{0}^{5}（-{x}^{2}+5x）dx$=$（-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{5}{2}{x}^{2}）{|}_{0}^{5}$=$\frac{125}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查定积分在求面积中的应用以及二项式的性质，求解的关键利用二项式定理求出常数项，积分与二项式定理这样结合，形式较新颖，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．