Question

19．（1）求证：1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＞$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{2（2n-1）}$（n≥2）
（2）求证：$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{36}$+…+$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$
（3）求证：$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+$\frac{1•3•5}{2•4•6}$+…+$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\sqrt{2n+1}$-1
（4）求证：2（$\sqrt{n+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜$\sqrt{2}$（$\sqrt{2n+1}$-1）

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＞$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出；
（2）当n≥2时，$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，利用“裂项求和”即可得出；
（3）由于$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{2n}{2n+1}$，T=$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\frac{2}{3}×$$\frac{4}{5}$×…×$\frac{2（n-1）}{2n-1}$×$\frac{2n}{2n+1}$=$\frac{1}{T}$×$\frac{1}{2n+1}$，可得T＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$=$\frac{2}{2\sqrt{2n+1}}$＜$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$，再利用“累加求和”即可得出．
（4）先证明左边：利用$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$，利用“累加求和”即可得出；
证明右边：$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$=$\sqrt{2}$$（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）$．利用“累加求和”即可得出．

解答 证明：（1）当n≥2时，$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＞$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＞1+$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{2（2n-1）}$．
∴1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＞$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{2（2n-1）}$（n≥2）．
（2）当n≥2时，$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
∴$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{36}$+…+$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{4n}$．
（3）∵$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{2n}{2n+1}$，
T=$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\frac{2}{3}×$$\frac{4}{5}$×…×$\frac{2（n-1）}{2n-1}$×$\frac{2n}{2n+1}$=$\frac{1}{T}$×$\frac{1}{2n+1}$，∴T＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$=$\frac{2}{2\sqrt{2n+1}}$＜$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+$\frac{1•3•5}{2•4•6}$+…+$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$（\sqrt{3}-1）$+$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）$+…+（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）=$\sqrt{2n+1}$-1，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+$\frac{1•3•5}{2•4•6}$+…+$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\sqrt{2n+1}$-1．
（4）先证明左边：∵$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$，
∴1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2$[（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）]$=2$（\sqrt{n+1}-1）$．
证明右边：∵$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$=$\sqrt{2}$$（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）$．
∴1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜$\sqrt{2}$[（$\sqrt{3}$-1）+$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）$+…+（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）]=$\sqrt{2}$$（\sqrt{2n+1}-1）$．
综上可得：2（$\sqrt{n+1}$-1）＜1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜$\sqrt{2}$（$\sqrt{2n+1}$-1）．

点评 本题考查了不等式的证明方法、“放缩法”、不等式的性质、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．