Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点F作⊙O：x²+y²=a²的两条切线，记切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB=120°，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A、y=±

  3

  x
• B、y=±

  3

  3

  x
• C、y=±

  2

  x
• D、y=±

  2

  2

  x

Answer 1

分析：根据双曲线的方程得到渐近线为y=±

b

a

x，结合题中的条件画出图象进而得到∠AFO=30°，即得到a与c的关系式，进而得到a与b的关系式，即可得到答案．

解答：解：由题意可得：双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
所以双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x．

因为若∠ACB=120°，
所以根据图象的特征可得：∠AFO=30°，
所以c=2a，
又因为b²=c²-a²，
所以

b

a

=

3

，
所以双曲线的渐近线方程为y=±

3

x．
故选A．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线与圆的位置关系，结合有关条件得到a、b与c的关系，进而得到答案．