Question

已知数列{a_n}满足（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁≠2，求证数列{a_n-2}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}是等差数列，，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由得，
∵a₁≠2，∴a₁-2≠0，∴
所以{a_n-2}是以a₁-2为首项，为公比的等比数列．------------------------------（5分）
（Ⅱ）解：由，及，
两式相减，得．
又{a_n}是等差数列，于是a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=d，
所以，解得d=0，
于是a_n=a₁，代入得a₁=2，于是a_n=2（n∈N^*）．---------------（9分）
∴，
于是．-----------------------（12分）
分析：（Ⅰ）由得，进而可得，即可证得结论；
（Ⅱ）由，及，两式相减，得，利用{a_n}是等差数列，可得d=0，从而可得数列的通项，进而可求数列的和．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．