Question

设两个复数集M={z|z=a+i（1-a²），a∈R}，N={z|z=sinθ+i(m-

3

2

sin2θ)，m∈R，θ∈[0，

π

2

]}，若M∩N≠Φ，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：若M∩N≠Φ，即是说，存在a，θ，m使得a+i(1-a2)=sinθ+i(m-

3

2

sin2θ)，根据复数相等的定义得到

a=sinθ 1-a2=m- 3 2 sin2θ

消去a后有1-sin2θ=cos2θ=m-

3

2

sin2θ，看作m关于θ的函数关系式，求出实数m的取值范围．．

解答：解：若M∩N≠Φ，则有z0=a+i(1-a2)=sinθ+i(m-

3

2

sin2θ)，
据复数相等的定义 得

a=sinθ 1-a2=m- 3 2 sin2θ

⇒1-sin2θ=cos2θ=m-

3

2

sin2θ，
 看作m关于θ的函数关系式，
移向得m=

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ+

1

2

=sin(2θ+

π

6

)+

1

2

，∵θ∈[0，

π

2

]，∴2θ+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴m∈[0，

3

2

]．

点评：本题首先在理解集合描述法的基础上，将集合的关系M∩N≠Φ化成集合M，N中元素的关系，再利用函数思想求出实数m的取值范围，注意分清字母a，θ，m在问题中的作用．是道值得品味的好题．