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(本小题满分14分)如图,已知直线OP1OP2为双曲线E:的渐近线,△P1OP2的面积为,在双曲线E上存在点P为线段P1P2的一个三等分点,且双曲线E的离心率为.

(1)若P1P2点的横坐标分别为x1x,则x1x2之间满足怎样的关系?并证明你的结论;
(2)求双曲线E的方程;
(3)设双曲线E上的动点,两焦点,若为钝角,求点横坐标的取值范围.

(1)∴x1·x2;(2)=1;(3)-,-2)∪(2,)

解析试题分析:(1)设双曲线方程为=1,由已知得
    ∴  ∴渐近线方程为y=±x   …………2分
P1(x1x1P2(x,-x2)
设渐近线yx的倾斜角为θ,则tanθ ∴sin2θ
|OP1||OP2|sin2θ·
x1·x2                                              …………5分
(2)不妨设P所成的比为λ=2,P(xy), 则
x y   
x1+2x2=3x x1-2x2=2y                                    …………7分
∴(3x)2-(2y)2=8x1x2=36  
=1 即为双曲线E的方程                                …………9分
(3)由(2)知C,∴F1(-,0) F2(,0) 设M(x0y0)
yx-9,=(--x0,-y0=(x0,-y0)
·x-13+yx-22                     …………12分
若∠F1MF2为钝角,则x-22<0
∴|x0|< 又|x0|>2
x0的范围为(-,-2)∪(2,)            ……14分
考点:本题考查了双曲线的方程、性质及数量积的运用
点评:本题主要考查双曲线的标准方程和性质、数量积的应用等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分12分,(Ⅰ)小问3分,(Ⅱ)小问9分.)
直线称为椭圆的“特征直线”,若椭圆的离心率.(1)求椭圆的“特征直线”方程;
(2)过椭圆C上一点作圆的切线,切点为PQ,直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点EFO为坐标原点,若取值范围恰为,求椭圆C的方程.

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(本小题满分13分)
已知点,△的周长为6.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与曲线相交于不同的两点.若点轴上,且,求点的纵坐标的取值范围.

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(本小题满分13分)
已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且
,求直线l的方程。

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已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点.
① 若直线垂直于轴,求的大小;
② 若直线轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.

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(本小题满分12分)
已知,O为坐标原点,动点E满足:

(Ⅰ) 求点E的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过曲线C上的动点P向圆O:引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点,求ΔMON面积的最小值.

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已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合,它们的离心率之和为,若椭圆的焦点在轴上,求椭圆的方程.

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(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=

(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.

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(本小题满分12分)已知双曲线的两个焦点为在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程.

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