(本小题满分14分)如图,已知直线OP1,OP2为双曲线E:的渐近线,△P1OP2的面积为,在双曲线E上存在点P为线段P1P2的一个三等分点,且双曲线E的离心率为.
(1)若P1、P2点的横坐标分别为x1、x2,则x1、x2之间满足怎样的关系?并证明你的结论;
(2)求双曲线E的方程;
(3)设双曲线E上的动点,两焦点,若为钝角,求点横坐标的取值范围.
(1)∴x1·x2=;(2)-=1;(3)-,-2)∪(2,)
解析试题分析:(1)设双曲线方程为-=1,由已知得=
∴= ∴渐近线方程为y=±x …………2分
则P1(x1,x1) P2(x2,-x2)
设渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ= ∴sin2θ==
∴=|OP1||OP2|sin2θ=·
∴x1·x2= …………5分
(2)不妨设P分所成的比为λ=2,P(x,y), 则
x= y==
∴x1+2x2=3x x1-2x2=2y …………7分
∴(3x)2-(2y)2=8x1x2=36
∴-=1 即为双曲线E的方程 …………9分
(3)由(2)知C=,∴F1(-,0) F2(,0) 设M(x0,y0)
则y=x-9,=(--x0,-y0) =(-x0,-y0)
∴·=x-13+y=x-22 …………12分
若∠F1MF2为钝角,则x-22<0
∴|x0|< 又|x0|>2
∴x0的范围为(-,-2)∪(2,) ……14分
考点:本题考查了双曲线的方程、性质及数量积的运用
点评:本题主要考查双曲线的标准方程和性质、数量积的应用等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分,(Ⅰ)小问3分,(Ⅱ)小问9分.)
直线称为椭圆的“特征直线”,若椭圆的离心率.(1)求椭圆的“特征直线”方程;
(2)过椭圆C上一点作圆的切线,切点为P、Q,直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F,O为坐标原点,若取值范围恰为,求椭圆C的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知点,,△的周长为6.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与曲线相交于不同的两点,.若点在轴上,且,求点的纵坐标的取值范围.
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(本小题满分13分)
已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且
,求直线l的方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于,两点.
① 若直线垂直于轴,求的大小;
② 若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
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(本小题满分12分)
已知,,O为坐标原点,动点E满足:
(Ⅰ) 求点E的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过曲线C上的动点P向圆O:引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点,求ΔMON面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=.
(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知双曲线的两个焦点为、点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程.
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