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设函数f(x)=log
1
2
x
,给出下列四个命题:
①函数f(|x|)为偶函数;
②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,则ab=1;
③函数f(-x2+2x)在(1,+∞)上为单调增函数;
④若0<a<1,则|f(1+a)|<|f(1-a)|;
则正确命题的序号是______.
f(x)=log
1
2
x

∴①函数f(|x|)为偶函数,此命题正确,因为f(-x)=log
1
2
|-x|=log
1
2
|x|=f(x)
此函数是一个偶函数,命题是正确命题;
②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,则ab=1,此命题是正确命题,因为|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,故有f(a)+f(b)=0,即log
1
2
a+log
1
2
b=0
,故有ab=1;
③函数f(-x2+2x)的定义域是(0,2),故复合函数f(-x2+2x)在(1,+∞)上为单调增函数错;
④若0<a<1,则|f(1+a)|<|f(1-a)|,此命题,因为由题意f(1+a)<0,f(1-a)>0,若有|f(1+a)|<|f(1-a)|成立,则f(1+a)+f(1-a)>0,即f(1-a2)>0,即1-a2∈(0,1)显然成立;
综上①②④都是正确命题
故答案为①②④
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