Question

已知点A，D分别是椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且的最大值是1，最小值是，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线L：x=分别交于M，N两点，求线段MN长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在T点，使得△TSB的面积是？若存在，确定点T个数；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设 P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则（-c-x，-y），（c-x，-y），
∴=x²+y²-c²，
∵P在线段AD上，
∴x²+y²可以看成线段AD上的点到原点距离的平方，
结合图形可以知道当P运动到A时x²+y²最大，最大值为a²，
所以=x²+y²-c²的最大值为a²-c²=b²，
当OP⊥AD时，x²+y²取得最小，最小值运用等面积法可得到x²+y²的最小值为，
所以=x²+y²-c²的最小值为，
又的最大值是1，最小值是，
故有，解得a²=4，
所以椭圆方程为；
（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，
故可设直线的方程为y=k（x+2），
从而，
由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
设S（x₁，y₁），
则，得，从而，
又B（2，0），得，所以，
又k＞0，故|MN|=，当且仅当时等号成立，
∴时，线段的长度取最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，
此时BS的方程为2x+y-4=0，，
∴，
要使椭圆上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，
所以点T在平行于BS且与BS距离等于的直线l′上，
设直线l′的方程为2x+y+c=0，
则由，解得c=-3或c=-5，
当c=-3时，由得Δ=128＞0，故直线l′与椭圆有两个不同的交点；
当c=-5时，由得Δ=-128＜0，故直线l′与椭圆没有交点；
综上所述，当线段MN的长度最小时，在椭圆上仅有两个点T，使得△TSB的面积等于。