Question

（2012•虹口区一模）（1）求以x±2y=0为渐近线，且过点

2 7 ，- 2

的双曲线A的方程；
（2）求以双曲线A的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆B的方程；
（3）椭圆B上有两点P，Q，O为坐标原点，若直线OP，OQ斜率之积为

1

5

，求证：|OP|²+|OQ|²为定值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，设出双曲线的方程，代入点的坐标，即可求得双曲线A的方程；
（2）确定椭圆的焦点与顶点坐标，即可求得椭圆B的方程；
（3）直线与椭圆方程联立，求得：|OP|²，|OQ|²的值，即可证得结论．

解答：（1）解：设双曲线方程为x²-4y²=λ（λ≠0）
将

2 7 ，- 2

代入，得λ=20，
∴双曲线A：

x2

20

-

y2

5

=1…（3分）
（2）解：双曲线A的顶点为

± 20 ，0

，焦点为

±5，0

∴椭圆的顶点为

±5，0

，焦点为

± 20 ，0

，
∴b²=5，
椭圆B：

x2

25

+

y2

5

=1…（6分）
（3）证明：设k_OP=k，kOQ=

1

5k

，由

y=kx x2 25 + y2 5 =1

，得x2=

25

5k2+1

，
∴|OP|2=

25(k2+1)

5k2+1

…（10分）
同理可得|OQ|2=

5(25k2+1)

5k2+1

，
∴|OP|2+|OQ|2=

150k2+30

5k2+1

=30…（15分）

点评：本题考查双曲线、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定运用双曲线、椭圆的性质是关键．