Question

若A+B=

π

3

，tanA+tanB=

2 3

3

，则cosA•cosB的值是（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：方法1：根据正切的和角公式，变形得到tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）．再将已知条件A+B=

π

3

，tanA+tanB=

2 3

3

代入，得到tanA+tanB=

2 3

3

，与tanA+tanB=

2 3

3

联解可得tanA和tanB的值，最后讨论A、B两个角的取值，可得cosA=cosB=

3

2

或cosA=cosB=-

3

2

，从而得到cosA•cosB的值．
方法2：将已知式tanA+tanB=

2 3

3

化成正弦和余弦的表达式，可得

sin(A+B)

cosAcosB

=

2 3

3

，再结合已知A+B=

π

3

，代入计算，即可得到cosA•cosB的值．

解答：解：方法1：∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
将已知A+B=

π

3

，tanA+tanB=

2 3

3

代入，得
tan

π

3

（1-tanAtanB）=

2 3

3

⇒tanAtanB=

1

3

…①
又∵tanA+tanB=

2 3

3

…②，
∴①②联解，得tanA=tanB=

3

3

∴A=

π

6

+mπ，B=

π

6

+nπ，其中m、n是整数
∵A+B=

π

3

，
∴整数m、n满足m+n=0，m、n互为相反数．
因此cos（

π

6

+mπ）=cos（

π

6

+nπ）=cos

π

6

，或cos（

π

6

+mπ）=cos（

π

6

+nπ）=-cos

π

6

，
∴cosAcosB=cos（

π

6

+mπ）cos（

π

6

+nπ）=cos²

π

6

=

3

4

方法2：∵tanA+tanB=

2 3

3

，
∴

sinA

cosA

+

sinB

cosB

=

2 3

3

⇒

sinAcosB+cosAsinB

cosAcosB

=

2 3

3

∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），且A+B=

π

3

，
∴

sin π 3

cosAcosB

=

2 3

3

⇒cosA•cosB=

sin π 3

2 3 3

=

3

2

•

3

2 3

=

3

4

故选A

点评：本题在已知两角之和和它们正切之和的情况下，求两个角的余弦之积，着重考查了两角和的三角函数公式和解简单的三角函数方程等知识点，属于基础题．方法2采用切化弦，通分后再逆用正弦的和角公式，更为简便，请同学们加以比较．