Question

已知向量

a

，

b

的夹角为60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，设

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

（1）求

a

•

b

；  （2）试用t来表示

m

•

n

的值；（3）若

m

与

n

的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

，

b

的夹角为60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，代入向量数量积公式，易求出

a

•

b

；  
（2）根据已知中

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

，结合向量

a

，

b

的夹角为60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，代入向量数量积公式，即可表示出

m

•

n

的值；
（3）若

m

与

n

的夹角为钝角，于是

m

•

n

＜0且

m

与

n

不平行，根据（2）中结论，构造关于t的不等式组，解不等式组，即可得到实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵向量

a

，

b

的夹角为60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，
∴

a

•

b

=1×2×cos60°=1；  …（3分）
（2）∵

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

∴

m

•

n

=(3

a

-

b

)•(t

a

+2

b

)=3t

a

2+(6-t)

a

•

b

-2

b

2=3t+6-t-2×4=2t-2…（3分）
（3）夹角为钝角，于是

m

•

n

＜0且

m

与

n

不平行．
其中

m

•

n

＜0⇒t＜1，而

m

∥

n

⇒t=-6，
于是实数t的取值范围是t∈（-∞，-6）∪（-6，1）．…（3分），其中没排除平行情况扣（2分）

点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，熟练掌握平面向量的数量积公式，是解答本题的关键，（3）中易忽略t=-6时，向量

m

与

n

反向的情况，而错解为（-∞，1）