Question

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，数列{a_n} （n∈N^*）的各项都是整数，其前n项和为S_n，若点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，且当n为偶数时，a_n=，则
（1）S₈=________；
（2）S_4n=________．

Answer 1

解：（1）当n为偶数时，a_n=，
∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，
∴a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，
当a_2n=2a_2n-1-1时，2a_2n-1=a_2n+1=n+1，∴a_2n-1=，
∵数列{a_n} （n∈N^*）的各项都为整数，
∴n为奇数时，a_2n-1=，
令n=2k-1，k∈N^*，则a_4k-3==k，即a₁，a₅，a₉，…，成首项为1，公差为1的等差数列；
当a_2n=-2a_2n-1时，a_2n-1=-，
所以n为偶数时，a_2n-1=-，
令n=2k′，k′∈N^*，则a_4k′-1=-=-k′，即a₃，a₇，a₁₁，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列；
所以S₈=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈
=（a₂+a₄+a₆+a₈）+（a₁+a₅）+（a₃+a₇）
=（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）
=10；
（2）由（1）知，n为偶数时，a_n=，且a₁，a₅，a₉，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a₃，a₇，a₁₁，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，
所以S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）==2n²+n．
故答案为：（1）10；（2）2n²+n．
分析：（1）当n为偶数时，a_n=，则a_2n=n，由f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，得a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，从而可求得n为奇数时，a_2n-1=，n为偶数时，a_2n-1=-，易判断a₁，a₅，a₉，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a₃，a₇，a₁₁，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，由此可得S₈=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=（a₂+a₄+a₆+a₈）+（a₁+a₅）+（a₃+a₇），代入即可求值；
（2）由（1）得S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n），化简即可得到答案．
点评：本题考查数列与函数的综合、数列求和及数列的函数特性，考查学生分析解决问题的能力，本题对学生能力要求较高，难度较大．