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精英家教网如图所示,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点,B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.
(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;
(2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01千米).
分析:(1)根据题意可用x分别表示PA,PC,PB,再利用cos∠PAB求得AB,同理求得AC,进而根据cos∠PAB=cos∠PAC,得到关于x的关系式,求得x.
(2)作PD⊥AC于D,根据cos∠PAD,求得sin∠PAD,进而求得PD.
解答:解:(1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.
在△PAB中,AB=20cos∠PAB=
PA2+AB2-PB2
2PA•AB
=
x2+202-(x-12)2
2x•20
=
3x+32
5x

同理,在△PAB中,AC=50cos∠PAC=
PA2+AC2-PC2
2PA•AC
=
x2+502-x2
2x•50
=
25
x

∵cos∠PAB=cos∠PAC,
3x+32
5x
=
25
x
解之,得x=31.

(2)作PD⊥AC于D,在△ADP中,
cos∠PAD=
25
31
sin∠PAD=
1-cos2∠PAD
=
4
21
31

PD=PAsin∠APD=31•
4
21
31
=4
21
≈18.33
千米
答:静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米.
点评:本题主要考查了解三角形的实际应用.要充分利用三角形的边角关系,利用三角函数、正弦定理、余弦定理等公式找到问题解决的途径.
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(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;
(2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01千米).

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(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;
(2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01千米).

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(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;
(2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01千米).

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(1)设的距离为千米,用表示的距离,并求的值;

(2)求到海防警戒线的距离(结果精确到千米).

 

 

 

 

 

 

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