Question

在△ABC中，，，又E点在BC边上，且满足，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点.

（1）求此双曲线的方程；

（2）设P是此双曲线上任意一点，过A点作∠APB平分线的垂线，垂足为M，求M点的轨迹方程.

Answer 1

解：（1）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图

∴A（－1，0），B（1，0），

作CD⊥AB于D，由已知，∴cosA=,即=,

同理又∵，∴，

设双曲线的方程为=1(a＞0,b＞0),C(-,h),E(x₁,y₁),

又，∴又E、C两点在双曲线上，

∴解得a²=,

∴b²=

∴双曲线方程为7x²-y²=1.

（2）设AM的延长线或延长线交PB于N点，则△PAN是等腰三角形，|PA|=|PN|且M是AN的中点，

∴|OM|=|NB|=||PB|-|PN||=||PB|-|PA||=a,

∴M点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆，∴方程为x²+y²=.