Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，请你根据上面探究结果，计算f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，从而得到f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)．

解答： 解：由f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，得f′（x）=x²-x+3，
∴f′′=2x-1，
由2x-1=0得x=

1

2

，
∴f(

1

2

)=1，
∴f（x）的对称中心为(

1

2

，1)，
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2013

2014

)=f(

2

2014

)+f(

2012

2014

)=…=2f(

1007

2014

)=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)=2013
故答案为：2013．

点评：本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题．