Question

给定y轴上的一点A（0，a）（a＞1），对于曲线y=|

x2

2

-1|上的动点M（x，y）
（1）试求A，M两点之间距离|AM|（用x表示）；
（2）求|AM|的最小值（用a表示）．

Answer 1

考点：两点间的距离公式,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用两点之间的距离公式得到关于x的解析式；
（2）结合（1）以及二次函数的最值求法解答．

解答： 解：（1）曲线y=|

x2

2

-1|=

x2 2 -1，x≥ 2 或x≤- 2 1- x2 2 ，- 2 ＜x＜ 2

，所以|AM|=

1 4 (x2-2a)2+2a+1 ，x≥ 2 或x≤- 2 1 4 (x2+2a)2-2a+1 ，- 2 ＜x＜ 2

；
（2）由（1）可知，a＞1，所以1＜a≤4，|AM|的最小值为a-1；
a＞4时，|AM|的最小值为

2a+1

．

点评：本题考查了两点之间的距离公式以及二次函数最值的求法，属于中档题．