Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，|AB|=

5

，离心率

3

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点A作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于另外一点C，求△ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于|AB|=

5

，离心率

3

2

．可得

a2+b2

=

5

，

c

a

=

3

2

，又a²=b²+c²，解得即可．
（2）由于k_AB=-

b

a

=-

1

2

．设与直线AB平行的椭圆的切线为y=-

1

2

x+m．与椭圆的方程联立，利用△=0，可得m．解得切点C时，△ABC面积取得最大值，利用点到直线的距离公式可得点C到直线ABy=-

1

2

x+1的距离d，即可得到△ABC面积取得最大值=

1

2

•d•|AB|．计算此时直线l的斜率k即可得出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵|AB|=

5

，离心率

3

2

．
∴

a2+b2

=

5

，

c

a

=

3

2

，
又a²=b²+c²，
解得c²=3，a²=4，b²=1．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）∵k_AB=-

b

a

=-

1

2

．
设与直线AB平行的椭圆的切线为y=-

1

2

x+m．
联立

y=- 1 2 x+m x2+4y2=4

，化为2x²-4mx+4m²-4=0，（*）
∵△=16m²-4×2×（4m²-4）=0，
解得m=±

2

．
取m=-

2

，
则（*）化为：2x2+4

2

x+4=0，
解得x=-

2

，
代入y=-

1

2

x-

2

，可得y=-

1

2

2

．
∴当取C(-

2

，-

2

2

)时，△ABC面积取得最大值，
点C到直线ABy=-

1

2

x+1的距离d=

|- 1 2 ×(- 2 )+ 2 2 +1|

1 4 +1

=

2 10 +2 5

5

．
|AB|=

5

．
∴△ABC面积取得最大值=

1

2

×

2 10 +2 5

5

×

5

=

2

+1．
此时直线l的斜率k=

2 2

2+ 2

=

2 -1

2

．
∴直线l的方程为y=

2 -1

2

(x-2)，即y=

2 -1

2

x+1-

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．