Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若方程f（x）=ax恰好有5个不同的解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意先求出函数的周期，要使关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，即使y=f（x）与y=ax有5个交点都是奇函数其中有一个交点肯定是原点，只需考虑（0，+∞）有两个交点即可，画出图象即可求出a的值．

解答： 解：因为f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
再根据f（x）是奇函数，x∈[0，1]时，f（x）=2x，可得x∈[-1，1]时，f（x）=2x，
所以f（x）是周期为4的周期函数（且该函数最大值与最小值分别为2和-2）．
要使关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，即使y=f（x）与y=ax有5个交点即可．
由于这两个函数都是奇函数，其中有一个交点肯定是原点，只需考虑（0，+∞）有两个交点即可
画出函数图象如下：
当a=

2

5

，即 f（x）=ax过点（5，2））时，恰好5个交点，
当a＜0时，a的范围在（k₁，k₂）之间，k₁=-

2

3

，k₂=-

2

7

，即-

2

3

＜a＜-

2

7

，
故答案为：（-

2

3

，-

2

7

）∪{

2

5

}．

点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了数形结合和转化能力，属于中档题．