Question

用函数单调性的定义证明：f（x）=

x-1

x+3

在区间（-∞，-3）上是增函数．

Answer 1

分析：用定义法证明先取任意的x₁＜x₂＜-3，代入解析式作差，判断差的符号，然后由定义得出结论．

解答：解：用函数单调性的定义证明：f（x）=

x-1

x+3

，
设x₁＜x₂＜-3，x₁+3＜0，x₂+3＜0
f（x₂）-f（x₁）=

x2-1

x2+3

-

x1-1

x1+3

=

(x2-1)(x1+3)-(x1-1)(x2+3)

(x2+3)(x1+3)

=

4(x2-x1)

(x2+3)(x1+3)

∵（x₁+3）（x₂+3）＞0，x₂-x₁＞0，
∴

4(x2-x1)

(x2+3)(x1+3)

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在区间（-∞，-3）上是增函数；

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，用定义法证明函数的单调性要注意证明的格式即：作取，作差，整理，判号，得出结论．