Question

设向量

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)，x∈(0，

π

2

)．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求x的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=（

a

+

b

）•

b

，求f（x）的最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析：（I）根据向量平行的条件建立关于x的等式，结合x∈（0，

π

2

）化简得

3

sinx=cosx，从而得出tanx=

3

3

，可得x的值；
（II）由向量数量积的坐标运算公式，结合题意得到f（x）=cosx（

3

sinx+cosx）+2sin²x，利用二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简整理，可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

2

．最后根据正弦函数的图象与性质，结合x∈（0，

π

2

）加以计算，可得答案．

解答：解：（I）∵

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)，且

a

∥

b

，
∴

3

sinx•sinx=cosx•sinx，
∵x∈（0，

π

2

），可得sinx＞0，∴等式两边约去sinx，得

3

sinx=cosx，
因此tanx=

sinx

cosx

=

3

3

，可得x=

π

6

；
（II）∵

a

+

b

=（

3

sinx+cosx，2sinx），

b

=(cosx，sinx)，
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

=cosx（

3

sinx+cosx）+2sin²x
=

3

2

sin2x+1+

1

2

（1-cos2x）=sin（2x-

π

6

）+

3

2

．
∵x∈（0，

π

2

），可得2x-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴当2x-

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时，sin（2x-

π

6

）有最大值为1，
由此可得：f（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

2

的最大值为1+

3

2

=

5

2

，相应的x值为

π

6

．

点评：本题着重考查了平面向量的坐标运算、向量的数量积运算、三角恒等变换公式和利用三角函数的图象与性质求函数的最值等知识，属于中档题．