Question

设数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁=6,a₂=b₂=4,a₃=b₃=3,且数列{a_n+1-a_n}(n∈N^*)是等差数列，数列{b_n-2}(n∈N^*)是等比数列.

(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)是否存在k∈N^*,使a_k-b_k∈(0,)?若存在，求出k；若不存在，说明理由.

Answer 1

解析：(1)由已知a₂-a₁=-2,a₃-a₂=-1,d=-1-(-2)=1.

∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)+(n-1)·1=n-3.

n≥2,a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2+…+(a₃-a₂)+(a₂-a₁)+a₁)

=(n-4)+(n-5)+…+(-1)+(-2)+6

=.

n=1也合适.

∴a_n=(n∈N^*).

又b₁-2=4,b₂-2=2.即q==，

∴b_n-2=(b₁-2)·（）^n-1,

即b_n=2+8·（）ⁿ.

∴数列{a_n}{b_n}的通项公式为：a_n=,b_n=2+()^n-3.

(2)设f（k）=a_k-b_k=k²-k+7-8·（）^k=(k-)²+-8·（）^k.

当k≥4时（k-）²+为k的增函数，-8·（）^k也为k的增函数，

而f(4)= .

∴当k≥4时a^k-b^k≥.

又f(1)=f(2)=f(3)=0,

∴不存在k，使f(k)∈(0,).