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    已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时值域为[a3，b3]，当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]…其中a、b为常数，a1=0，b1=1
    （1）若a=1，b=2，求数列{an}和{bn}的通项公式．
    （2）若a＞0，a≠1，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值．
    （3）若a＞0，设数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，求Tn-Sn的值．
    分析：（1）由a=1，b=2，可得f（x）=x+2．函数f（x）单调递增，且当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]．
    可得当n≥2时，an=f（an-1）=an-1+2，bn=f（bn-1）=bn-1+2，由a1及b1，利用等差数列的通项公式即可得出．
    （2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，bn=f（bn-1）=abn-1+b，（*）
    因为当bn=bn-1时，bn=1，b=1-a，故b≠1-a（a＞0，a≠1），再利用数列{bn}的公比为q，b1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
    q=a+b
    q2=aq+b
    即可解得b的值．
    （3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，an=f（an-1）=aan-1+b，bn=f（bn-1）=abn-1+b，
    ①当a=1时，an=0+（n-1）•b，bn=1+（n-1）b，由bn-an=1即可得出Tn-Sn．
    ②当a≠1时，由an+
    b
    a-1
    =a(an-1+
    b
    a-1
    )    ，bn+
    b
    a-1
    =a(bn-1+
    b
    a-1
    )    ，
    可得an+
    b
    a-1
    =
    b
    a-1
    •an-1    ，bn+
    b
    a-1
    =(1+
    b
    a-1
    )•an-1    ，可得bn-an=an-1，于是Tn-Sn=1+a+a2+…+an-1．
    解答：解：（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
    ∵函数f（x）单调递增，且当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]．
    ∴当n≥2时，an=f（an-1）=an-1+2，bn=f（bn-1）=bn-1+2，
    又a1=0，b1=1，
    ∴an=0+（n-1）×2=2n-2，bn=1+（n-1）×2=2n-1．
    即an=2n-2，bn=2n-1．
    （2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，∴当n≥2时，bn=f（bn-1）=abn-1+b，（*）
    当bn=bn-1时，bn=1，b=1-a，
    因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
    设数列{bn}的公比为q，又b1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
    q=a+b
    q2=aq+b

    化为b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
    故当b=0时数列{bn}是公比不为1的等比数列．
    因此b=0．
    （3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，
    ∴当n≥2时，an=f（an-1）=aan-1+b，bn=f（bn-1）=abn-1+b，
    ①当a=1时，an=0+（n-1）•b，bn=1+（n-1）b，
    ∴Tn-Sn=1+1+…+1=n．
    ②当a≠1时，由an+
    b
    a-1
    =a(an-1+
    b
    a-1
    )    ，bn+
    b
    a-1
    =a(bn-1+
    b
    a-1
    )    ，
    可得an+
    b
    a-1
    =
    b
    a-1
    •an-1    ，bn+
    b
    a-1
    =(1+
    b
    a-1
    )•an-1    ，
    ∴可得bn-an=an-1，
    ∴Tn-Sn=1+a+a2+…+an-1=
    an-1
    a-1
    ．
    综上可知：当a=1时，Tn-Sn=n；
    当a≠1时，Tn-Sn=
    an-1
    a-1
    ．
    点评：熟练掌握一次函数的单调性、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论的思想方法是解题的关键．
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