Question

试讨论函数f(x)=log_a(a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.

Answer 1

解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,判定的法则是同增异减,判定的关键是分清函数的复合过程.

解:设u=,任取x₂＞x₁＞1,则

u₂-u₁=

∵x₁＞1,x₂＞1,∴x₁-1＞0,x₂-1＞0.

又∵x₁＜x₂,∴x₁-x₂＜0.

∴＜0,即u₂＜u₁.

当a＞1时,y=log_ax是增函数,

∴log_au₂＜log_au₁,即f(x₂)＜f(x₁);

当0＜a＜1时,y=log_ax是减函数,∴log_au₂＞log_au₁,即f(x₂)＞f(x₁).

综上可知,当a＞1时,f(x)=log_a在(1,+∞)上为减函数;

当0＜a＜1时,f(x)=log_a在(1,+∞)上为增函数.

答案：当a＞1时,f(x)=log_a在(1,+∞)上为减函数;

当0＜a＜1时,f(x)=log_a在(1,+∞)上为增函数.