Question

（1）证明函数y=f(x)=

x

1+x2

在（-1，1）上是增函数．（2）试讨论函数f(x)=

kx

1+x2

在（-1，1）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）对f（x）求导，解得f′（x）＞0在（-1，1）上成立，所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
（2）解得f′（x）=

k(1-x2)

(1+x2)2

，由（1）得知

1-x2

(1+x2)2

＞0，只需对k进行讨论，判断f′（x）与0的大小关系，从而得到f（x）在（-1，1）上的单调性．

解答：解；（1）∵f（x）=

x

1+x2

∴f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

∵-1＜x＜1∴1-x²＞0
∴f′（x）＞0
即f（x）在（-1，1）上是增函数．
（2）∵f（x）=

kx

1+x2

∴f′（x）=

k(1-x2)

(1+x2)2

，
由（1）得知

1-x2

(1+x2)2

＞0，
对k进行讨论：
当k=0时，f（x）=0；即f（x）在（-1，1）上不具有单调性；
当k＜0时，f′（x）＜0，即f（x）在（-1，1）上为减函数；
当k＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上为增函数．

点评：本题比较简单，考查利用导数研究函数的单调性，属于函数这一章节的基础知识，应熟练掌握其方法步骤．