Question

已知函数f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R)，
（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-

3

2

]；
（3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
（i）如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求实数a的取值范围；
（ii）如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）设出P为函数上任意一点，然后将P的坐标代入已知函数，写出P关于（a，-1）的对称点P'（2a-x₀，-2-y₀）．然后代入f（x）进行验证关于（a，-1）成中心对称图形．
（2）根据（1）的结论，把f（x）代入题目，然后验证[f(x)+2][f(x)+

3

2

]≤0即可证明
（3）（i）根据题意，把f（x）=x有解转化为△＞0或△=0两种情况，并进行分析．
    （ii）当x≠a时，（1+a）x=a²+a-1无解，此时即可求出a的值．

解答：解：（1）设P（x_o，y_o）是函数y=f（x）图象上一点，则y_o=

xo+1-a

a-xo

，
点P关于（a，-1）的对称点P'（2a-x₀，-2-y₀）．
∵f(2a-xo)=

2a-x0+1-a

a-2a+x0

=

a-x0+1

x0-a

，-2-yo=

a-x0+1

x0-a

∴-2-y₀=f（2a-x₀）．即P′点在函数y=f（x）的图象上．
所以，函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形.(2)∵[f(x)+2][f(x)+

3

2

]=

a-x+1

a-x

•

a+2-x

2(a-x)

=

(x-a-1)(x-a-2)

2(a-x)2

．
又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）²＞0，
∴[f(x)+2][f(x)+

3

2

]≤0，∴-2≤f(x)≤-

3

2

．

（3）（i）根据题意，只需x≠a时，f（x）=x有解.即

x+1-a

a-x

=x有解，
即x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解
．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，
①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，
此时，x分别为-2或0．符合题意．综上，a≤-3或a≥1．
（ii）根据题意，知：x≠a时，

x+1-a

a-x

=a无解，
即x≠a时，（1+a）x=a2+a-1无解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以，对于任意x∈R．（1+a）x=a²+a-1无解．∴a=-1．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．本题需要把点P关于（a，-1）的对称点P'（2a-x₀，-2-y₀）代入函数．进行化简．并注明取值范围．需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．