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    已知函数f(x)=
    x+1-a
    a-x
    (a∈R)    ，
    （1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
    （2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-
    3
    2
    ]    ；
    （3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．
    （i）如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求实数a的取值范围；
    （ii）如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的值
    （1）设P（xo，yo）是函数y=f（x）图象上一点，则yo=
    xo+1-a
    a-xo
    ，
    点P关于（a，-1）的对称点P'（2a-x0，-2-y0）．
    ∵f(2a-xo)=
    2a-x0+1-a
    a-2a+x0
    =
    a-x0+1
    x0-a
    ，-2-yo=
    a-x0+1
    x0-a

    ∴-2-y0=f（2a-x0）．即P′点在函数y=f（x）的图象上．
    所以，函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形.(2)∵[f(x)+2][f(x)+
    3
    2
    ]=
    a-x+1
    a-x
    •
    a+2-x
    2(a-x)
    =
    (x-a-1)(x-a-2)
    2(a-x)2
    .
    又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）2＞0，
    ∴[f(x)+2][f(x)+
    3
    2
    ]≤0，∴-2≤f(x)≤-
    3
    2
    .

    （3）（i）根据题意，只需x≠a时，f（x）=x有解.即
    x+1-a
    a-x
    =x    有解，
    即x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解
    ．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，
    ①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，
    此时，x分别为-2或0．符合题意．综上，a≤-3或a≥1．
    （ii）根据题意，知：x≠a时，
    x+1-a
    a-x
    =a    无解，
    即x≠a时，（1+a）x=a2+a-1无解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
    所以，对于任意x∈R．（1+a）x=a2+a-1无解．∴a=-1．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
    C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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