Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）证明函数y=f（x）是R上的单调性；
（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若f（x²-2）+f（x）＜0，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，利用f（a+b）=f（a）+f（b）可求得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），又当x＞0时，f（x）＜0，从而得f（x₁）＜f（x₂），可证明函数y=f（x）在R上单调递减；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）⇒f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，从而可知函数y=f（x）的奇偶性；
（3）（方法一）由f（x²-2）+f（x）＜0得f（x²-2）＜-f（x）=f（-x），利用y=f（x）在R上单调递减即可求得x的取值范围；
（方法二））由f（x²-2）+f（x）＜0且f（0）=0得f（x²-2+x）＜f（0），同理可得x的取值范围．

解答：（1）证明：设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（（x₁-x₂）+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂），
又当x＞0时，f（x）＜0恒成立，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），
得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数．
（3）（方法一）由f（x²-2）+f（x）＜0，
得f（x²-2）＜-f（x），
又y=f（x）是奇函数，
即f（x²-2）＜f（-x），
又y=f（x）在R上是减函数，
∴x²-2＞-x解得x＞1或x＜-2．
（方法二））由f（x²-2）+f（x）＜0且f（0）=0，
得f（x²-2+x）＜f（0），
又y=f（x）在R上是减函数，
∴x²-2+x＞0，
解得x＞1或x＜-2．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．