Question

（本题满分12分）
已知函数f (x)＝－ax³＋x²＋(a－1)x－ (x＞0)，(aÎR)．
(Ⅰ)当0＜a＜时，讨论f (x)的单调性；
(Ⅱ)若f (x)在区间(a, a＋1)上不具有单调性，求正实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当0＜a＜时，f (x)在(0,1)，(－1,＋¥)递减；在(1, －1)递增
（2）(0，)∪(，1)．

试题分析：解：(Ⅰ) f (x)的定义域为.
＝－a(x－1)[x－(－1)]．               ……2分
当0＜a＜时，－1＞1，
∴f (x)在(0,1)，(－1,＋¥)递减；在(1, －1)递增；           ……4分
(Ⅱ) f (x)在区间上不具有单调性等价于f (x)在区间内至少有一个极值点．             ……5分
①当a＝时，f ¢(x)＝－ (x－1)²≤0Þf (x)在上递减,不合题意； …7分
②当a≥1时，f ¢(x)＝0的两根为x₁＝1,x₂＝－1，∵，故不合题意；③当，且a≠时，f (x)在区间上不具有单调性等价于：
或
，且a≠．                                         ……11分
综上可知，所求的取值范围是(0，)∪(，1)．                     ……12分
点评：这类问题的解决一般主要涉及两类题型，求解单调区间，同时证明不等式恒成立问题。前者经常要对于参数分类讨论，注意对于一元二次不等式的熟练运用，是解决这个题型的关键，后者主要是求解函数的最值来证明不等式。如果递增，则说明函数在给定区间上导数恒大于等于零，反之，则恒小于等于零。来分离参数的思想求解参数的范围。