Question

设函数f（x）是实数集R上的增函数，令F（x）=f（x）-f（2-x）．
（Ⅰ）判断并证明F（x）在R上的单调性；
（Ⅱ）若F（a）+F（b）＞0，求证：a+b＞2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用单调性的定义来证明F（x）是增函数，基本步骤是：一取值，二作差（商），三判定，四结论；
（Ⅱ）由F（a）+F（b）＞0得F（a）＞-F（b），由F（x）=f（x）-f（2-x）变形-F（b），得F（2-b），即F（a）＞F（2-b），从而证出结论．

解答：解；（Ⅰ）F（x）在R上是增函数，现证明如下：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-f（2-x₁）]-[f（x₂）-f（2-x₂）]=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]；
∵f（x）是实数集R上的增函数，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0，由x₁＜x₂，得-x₁＞-x₂，∴2-x₁＞2-x₂，∴f（2-x₁）＞f（2-x₂），∴f（2-x₂）-f（2-x₁）＜0，
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]＜0；即F（x₁）＜F（x₂）；∴F（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）证明：∵F（a）+F（b）＞0，∴F（a）＞-F（b）；
由F（x）=f（x）-f（2-x）知，-F（b）=-[f（b）-f（2-b）]=f（2-b）-f（b）=f（2-b）-f[2-（2-b）]=F（2-b），∴F（a）＞F（2-b）；
又F（x）是实数集R上的增函数，所以a＞2-b，即a+b＞2．

点评：本题考查了利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性的灵活应用，是有一定难度的题目．