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已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,求向量ba-b的夹角.

活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a,b为邻边的A.BCD,若=a,=b,则=a+b,=a-b由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量ba-b的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos〈b,a.-b〉=作为切入点,进行求解.

解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a.|,∴b2=(a+b)2.

∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2.

a·b=-|b|2.

b·(a-b)=b·a-b2=-|b|2-|b|2=-|b|2,①

由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×(-)|b|2+|b|2=3|b|2,

而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,

∴|a-b|=3|b|.②

∵cos〈b,a.-b〉=,

代入①②,得cos〈b,a-b〉=-.

又∵〈b,a-b〉∈[0,π],∴〈b,a-b〉=.

点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.

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已知定理:“如果两个非零向量
e1
e2
不平行,那么k1
e1
+k2
e2
=
0
(k1,k2∈R)的充要条件是k1=k2=0”.试用上述定理解答问题:
设非零向量
e1
e2
不平行.已知向量
a
=(ksinθ)•
e
1
+(2-cosθ)•
e
2
,向量
b
=
e
1
+
e
2
,且
a
b
.求k与θ的关系式;并当θ∈R时,求k的取值范围.

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(3)-2a与2a是一对相反向量;

(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;

(5)若a,b不共线,则0ab不共线.

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