Question

如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P-DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．

解答：解：如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线角或者其补角．
设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG=

3

，GK=

3

2

，PK=

12+( 3 2 )2

=

7

2

，
故cos∠PGK=

( 3 )2+( 3 2 )2-( 7 2 )2

2× 3 × 3 2

=

2

3

．
即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．