Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（3）如何由函数y=

2

sinx的图象通过适当的变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）展开，利用二倍角公式与两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，直接利用周期公式求出函数最小正周期；
（2）利用正弦函数的最值，直接求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（3）由左加右减上加下减的原则，先平移后伸缩，或者先伸缩后平移即可由函数y=

2

sinx的图象通过适当的变换得到函数f（x）的图象．

解答：（本小题满分14分） 
解：（1）f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x
=1+2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x…（3分）
=

2

(

2

2

sin2x-

2

2

cos2x)
=

2

sin(2x-

π

4

)．…（5分）
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．  …（6分）
（2）当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，(k∈Z)，即x=kπ+

3π

8

，(k∈Z)时，
有f大(x)=

2

，此时的x集合为{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z }…（10分）
（3）y=

2

sinx纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

1

2

倍得到y=

2

sin2x
函数的图象向右平移

π

8

个单位得到y=

2

sin(2x-

π

4

)…（14分）
或y=

2

sinx函数的图象向右平移

π

4

个单位得到y=

2

sin(x-

π

4

)
横坐标缩小为原来的

1

2

倍得到y=

2

sin(2x-

π

4

)…（14分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式与两角和与差的三角函数的应用，三角函数图象的变换，考查计算能力．