Question

如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；

(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

Answer 1

解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

答案：（1）是的中点，取PD的中点，则

，又

四边形为平行四边形

∥，

∥        （4分）

 （2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，

在平面内设，，，  由        

由        

是的中点，此时                    （8分）

 （3）设直线与平面所成的角为

，，设为

   

故直线与平面所成角的正弦为                            （12分）

解法二：

 （1）是的中点，取PD的中点，则

，又

四边形为平行四边形

∥，

∥        （4分）

 （2）由（1）知为平行四边形

，又

    同理，

    为矩形    ∥，，又

        

    作故

交于，在矩形内，，

，    为的中点

当点为的中点时，                                （8分）

 （3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，

直线与平面所成的角的正弦值为       

点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来