Question

已知椭圆的一个顶点为B(0，4)，离心率， 直线交椭圆于M,N两点．

（1）若直线的方程为y=x-4，求弦MN的长：

（2）如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆顶点知，又离心率，且，所以，从而求得椭圆方程为，联立椭圆方程与直线消去得，，再根据弦长公式，可求得弦的长；（2）由题意可设线段的中点为，则根据三角形重心的性质知，可求得的坐标为，又设直线的方程为，根据中点公式得，又由点是椭圆上的点所以，两式相减整理得，从而可求出直线的方程.

（1）由已知，且，.所以椭圆方程为. 4分

由与联立，消去得，. 6分

. 7分

（2）椭圆右焦点的坐标为，设线段的中点为，由三角形重心的性质知，又，，故得.所以得的坐标为. 9分

设直线的方程为，则，且，两式相减得. 11分

，故直线的方程为. 13分

考点：1.椭圆方程；2.直线方程.