Question

19．设S为{1，2，…，9}的子集，且S中任意两个不同的数之和所得的数两两不同，问：S中最多有多少个元素？

Answer 1

分析 当S={1，2，3，5，8}时，S符合题目要求．如果T⊆{1，2，…，9}，由于T中任意两个不同的数之和介于3和17之间，至多可以形成15个不同的和的数．而T中任取2个数，至少有C${\;}_{6}^{2}$=15种取法．如果T满足条件，则所得和数中必须3与17同时出现，即1，2，8，9都在T中出现，但这时1+9=2+8，T不符合题意，故S中最多有5个元素．

解答 解：任取两个，最大不超过17=8+9，最小不小于3=1+2，3到17一共15个数．
假设S中一共有n个元素，由于任意两个都可以作和且两两不等，所以n个中任意取2个的取法应该不超过15，得到C${\;}_{6}^{2}$=15，则n≤6．
如果S的元素个数为6，那么任意两个元素的和恰好构成3到17，而3=1+2，17=8+9，只有一种取法，所以S中应该包含1，2，8，9，但是1+9=2+8，显然是不符合的，所以S的元素个数不可能为6．
S的元素个数为5，可以看出S={1，2，3，5，8}符合题意．
所以S的元素个数最多为5．

点评 本题以集合与元素为数学模型，考查了数列规律性的探求问题，解题时应仔细分析，寻找问题的关键，得出结论．