Question

4．对于函数f（x）=x图象上的任一点M，在函数g（x）=lnx上都存在点N（x₀，y₀），使以线段MN为直径的圆都经过坐标原点O，则x₀必然在下面哪个区间内？（　　）

• A． （$\frac{1}{{e}^{3}}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$）
• B． （$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 以线段MN为直径的圆都经过坐标原点O，可得xx₀+xlnx₀=0，构造g（x）=x+lnx，可得g（$\frac{1}{2}$）＜0，g（1）＞0，即可得出结论．

解答 解：设M（x，x），则
∵以线段MN为直径的圆都经过坐标原点O，
∴xx₀+xlnx₀=0，
∴x₀+lnx₀=0，
构造g（x）=x+lnx，可得g（$\frac{1}{2}$）＜0，g（1）＞0，
∴x₀∈（$\frac{1}{2}$，1），
故选D．

点评 本题考查函数的性质，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于中档题．