Question

16．若函数$f（x）=\frac{2}{3}{x^3}-2{x^2}+ax+10$在区间[-1，4]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-16]∪[2，+∞）
• B． （-16，2）
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，-16]

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=2x²-4x+a，
∵f（x）在[-1，4]递减，
∴f′（x）=2x²-4x+a≤0在[-1，4]恒成立，
即a≤-2x²+4x在[-1，4]恒成立，
令g（x）=-2x²+4x，x∈[-1，4]，
则g′（x）=-4x+4=-4（x-1），
令g′（x）＞0，解得：-1≤x＜1，
令g′（x）＜0，解得：1＜x≤4，
故函数g（x）在[-1，1）递增，在（1，4]递减，
而g（-1）=-6，g（1）=2，g（4）=-16，
故g（x）的最小值是-16，
故a≤-16，
故选：D．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，比较基础．