Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）若数列{$\frac{n+1}{{a}_{n}}$} 的前n 项和为T_n，求证：1≤T_n＜3．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（II）$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （I）解：∵S_n=2a_n-2，∴a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）证明：$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴数列{$\frac{n+1}{{a}_{n}}$} 的前n 项和T_n=$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$∈[1，3）．
∴1≤T_n＜3．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．