Question

8．已知命题p：方程x²+2mx+1=0有两个不相等的根，命题q：方程x²+2（m-2）x-3m+10=0无实根，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p正确，则△＞0，解得m范围．若命题q正确，则△＜0，解得m范围．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，即可得出答案．

解答 解：命题p：方程x²+2mx+1=0有两个不相等的实根，
∴△=4m²-4＞0，解得m＞1或m＜-1．
命题q：方程x²+2（m-2）x-3m+10=0无实根，
∴△=4（m-2）²-4（10-3m）＜0，解得-2＜m＜3．
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，
则p与q必然一真一假，
∴p真q假时，m≥3或m≤-2．
p假q真时，-1≤m≤1．
∴实数m的取值范围是m≤-2，或-1≤m≤1，或m≥3

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题