Question

某学生对函数f（x）=2xcosx进行研究后，得出如下四个结论：
（1）函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
（2）存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
（3）点(

π

2

，0)是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
（4）函数y=f（x）图象关于直线x=π对称．
其中正确的

 

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：对函数f（x）进行求导，根据导数的正负与原函数的增减性的关系可判断（1）不对；
根据y=cosx是有界函数可得（2）对；
根据函数基本性质--对称性的应用可判断（3）（4）不对．

解答：解：∵f（x）=2xcosx是一个奇函数，在对称的区间上单调性相同，故不对，排除（1）
因为|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）对，
因为f（

π

2

+x）+f（

π

2

-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，所以点(

π

2

，0)不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，
故（3）不对．
因为f（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，∴f（π+x）≠f（π-x），∴函数y=f（x）图象不关于直线x=π对称
故（4）不对
故答案为：（2）

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系以及函数的基本性质--对称性的应用．属中档题．