Question

（2010•江苏模拟）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②点(

π

2

，0)是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．
其中正确的结论是

④

．

Answer 1

分析：由函数是奇函数可得函数f（x）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错；通过给变量取特殊值，举反例可得②③不正确；
令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．

解答：解：f（x）=2x•cosx为奇函数，则函数f（x）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错．
由于f（0）=0，f（π）=-2π，所以②错．再由 f（0）=0，f（2π）=4π，所以③错．
|f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．
故答案为：④．

点评：本题主要考查三角函数的对称性、单调性、以及函数的最值，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．