Question

已知函数f（x）=（t-x），其中t为常数，且t>0。
（1）求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（2）数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），且设b_n=1-，证明：对任意的x＞0，b_n≥n=1，2，3，…；
（3）证明：b₁+b₂+…+b_n＞。

Answer 1

解：（1）由于
则
∵x>0
∴当x＜t时，f′_t（x）＞0；当x>t时，f'_t（x）<0
∴当x=t时，f_t（x）取得最大值；
（2）由题意知

即a_n=
∴


检验知n=1，2时，结论也成立，故
所以
令
由（1）知
∴对任意的x>0，不等式
成立。
（3）由（2）知，对任意的x>0，有


令
则

则
∴原不等式成立。