Question

【题目】已知函数，，其中a为常数，e是自然对数的底数，曲线在其与y轴的交点处的切线记作，曲线在其与x轴的交点处的切线记作，且.

（1）求之间的距离；

（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由导数的几何意义求出，因为，所以切线斜率相等求出，求得两直线的方程，代入两平行直线间的距离公式即可得解；(2)不等式化简为

，令，利用导数求出的最大值，根据不等式有解即可求出m的取值范围.

（1）函数的图像与y轴的交点为，函数的图像与x轴的交点为，

而，，

∵，∴，得，又∵，∴.

∴，，∴切线过点，斜率为；

切线过点，斜率为，

，，

∴两平行切线间的距离.

（2）由，得，故在时有解，令，则只需，

当时，；

当时，可求得，

∵，当且仅当时取等号，而，

∴，故，即，

∴函数在区间上单调递减，故，即，

∴实数m的取值范围为.