【题目】某地要建造一个边长为2(单位:)的正方形市民休闲公园
,将其中的区域
开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点
的坐标为
,曲线
是函数
图像的一部分,过边
上一点
在区域
内作一次函数
(
)的图像,与线段
交于点
(点
不与点
重合),且线段
与曲线
有且只有一个公共点
,四边形
为绿化风景区.
(1)求证:;
(2)设点的横坐标为
,
①用表示
、
两点的坐标;
②将四边形的面积
表示成关于
的函数
,并求
的最大值.
【答案】(1)见解析(2)①M(,0),N(
,2)②S=4﹣(t
),其中0<t<1,S的最大值是4
.
【解析】
(1)根据函数y=ax2过点D,求出解析式y=2x2;
由消去y,利用△=0证明结论成立;
(2)①写出点P的坐标(t,2t2),代入直线MN的方程,用t表示出直线方程,
利用直线方程求出M、N的坐标;
②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S(t),
利用基本不等式即可求出S的最大值.
(1)函数y=ax2过点D(1,2),
代入计算得a=2,
∴y=2x2;
由,消去y得2x2﹣kx﹣b=0,
由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P,
得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0,
解得b;
(2)设点P的横坐标为t,则0<t<1,
∴点P(t,2t2);
①直线MN的方程为y=kx+b,
即y=kx过点P,
∴kt2t2,
解得k=4t;
y=4tx﹣2t2
令y=0,解得x,∴M(
,0);
令y=2,解得x,∴N(
,2);
②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为
S=S(t)=2×22×[
(
)]=4﹣(t
),其中0<t<1;
由t2
,当且仅当t
,即t
时“=”成立,
所以S≤4;即S的最大值是4
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为线段
的中点.
(1)若为线段
上的动点,证明:平面
平面
;
(2)若为线段
,
,
上的动点(不含
,
),
,三棱锥
的体积是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】对任意正整数,若存在数列
,满足
,其中
,则称数列
为正整数
的生成数列,记为
.
(1)写出2018的生成数列;
(2)求证:对任意正整数,存在唯一的生成数列
;
(3)求生成数列的所有项的和.
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【题目】已知,
分别为双曲线
的左、右焦点,点P是以
为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段
的中点Q在C的渐近线上,则C的两条渐近线方程为__________.
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【题目】已知,
分别为双曲线
的左、右焦点,点P是以
为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段
的中点Q在C的渐近线上,则C的两条渐近线方程为__________.
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【题目】“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出
份,统计得分绘出频率分布直方图如图.
(1)求出图中的值,并求样本中,答卷成绩在
上的人数;
(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取名,记成绩在
分以上(含
分)的人数为
,求
的分布列和期望.
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【题目】如图,在地上有同样大小的 5 块积木,一堆 2 个,一堆 3 个,要把积木一块一块的全部放到某个盒子里,每次 只能取出其中一堆最上面的一块,则不同的取法有______种(用数字作答).
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点O为对角线BD的中点,点E,F分别为棱PC,PD的中点,已知PA⊥AB,PA⊥AD.
(1)求证:直线PB∥平面OEF;
(2)求证:平面OEF⊥平面ABCD.
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【题目】2016年1月6日,中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数,中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系,如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图,下列结论中不正确的是( )
A.2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大
B.甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数
C.两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份
D.2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业
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