Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD．

（1）求证：直线PB∥平面OEF；

（2）求证：平面OEF⊥平面ABCD．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

（1）根据O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO，之后应用线面垂直的判定定理证得结果；

（2）根据题意，得到PA∥OE，结合题中所给的条件因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，可得PA⊥平面ABCD，从而得到OE⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理证得结果.

（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO

而PB平面OEF，FO平面OEF，

∴　PB∥平面OEF．

（2）连结AC，因为ABCD为平行四边形，

∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，

∴　PA∥OE，

因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴　PA⊥平面ABCD，

∴　OE⊥平面ABCD

又OE平面OEF，

∴　平面OEF⊥平面ABCD