【题目】已知函数.
(1)讨论的导数的单调性;
(2)若有两个极值点,,求实数的取值范围,并证明.
【答案】(1)在上单调递减,在上单调递增;
(2)见解析.
【解析】
(1)求出,令,对,讨论来求的单调性;
(2)将有两个极值点,转化为有两解,继续转化为有两解,构造函数,求导为其极小值,可得,即可求得实数的取值范围;另外要证明,不妨设,则,由(1)根据的单调性得,通过变形,转化为证明,进一步变形证明,构造函数,利用导数研究其最小值即可证明.
(1)由题意,得.
设,则.
①当时,,所以在上单调递增.
②当时,由,得.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
(2)由于有两个极值点,,即在上有两解,,
即,显然,故等价于有两解,,
设,则,
当时,,所以在单调递减,
且,时,,时,;
当时,,所以在单调递减,且时,;
当时,,所以在单调递增,且时,,
所以是的极小值,有两解,等价于,得.
不妨设,则.
据(1)在上单调递减,在上单调递增,
故,
由于,,且,则,
所以,,
即,,
欲证明:,等价于证明:,
即证明:,只要证明:,
因为在上单调递减,,
所以只要证明:,
由于,所以只要证明:,
即证明:,
设,据(1),
,
所以在上单调递增,
所以,
即,
故.
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【题目】如图,矩形中,为的中点,将沿直线翻折成,连结,为的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )
A.存在某个位置,使得
B.翻折过程中,的长是定值
C.若,则
D.若,当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积是
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【题目】“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出份,统计得分绘出频率分布直方图如图.
(1)求出图中的值,并求样本中,答卷成绩在上的人数;
(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取名,记成绩在分以上(含分)的人数为,求的分布列和期望.
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【题目】设函数,函数,,其中为常数,且,令函数为函数和的积函数.
(1)求函数的表达式,并求其定义域;
(2)当时,求函数的值域
(3)是否存在自然数,使得函数的值域恰好为?若存在,试写出所有满足条件的自然数所构成的集合;若不存在,试说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点O为对角线BD的中点,点E,F分别为棱PC,PD的中点,已知PA⊥AB,PA⊥AD.
(1)求证:直线PB∥平面OEF;
(2)求证:平面OEF⊥平面ABCD.
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【题目】在某次数学考试中,从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析,两个班样本成绩的茎叶图如图所示.
(1)用样本估计总体,若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同,求的值;
(2)从样本中任意抽取3名学生的成绩,若至少有两名学生的成绩相同的概率大于,则该班成绩判断为可疑.试判断甲班的成绩是否可疑?并说明理由.
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【题目】随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从到)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第格的概率为,试证明是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程中,.
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