【题目】设
，其中
，函数
在点
处的切线方程为
，其中
.
（1）求
和
并证明函数有且仅有一个零点；
（2）当
时，
恒成立，求最小的整数
的值.
【答案】（1）
，证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）求出函数的导函数，根据函数
在点
处的切线方程为
，可得
，
即可求得
的值，在根据函数的单调性以及特殊点的函数值，可判断函数只有一个零点.
（2）当
时，
，由此
；猜想
的最小值为
，再证明
，在
时恒成立，即可求得.
解：（1）
所以定义域为
，
又因为函数在点处的切线方程为
所以
当时，
，即
，解得
，函数
在上单调递减
由于
，
，则函数有且仅有一个零点．
（2）一方面，当时，，由此；
所以猜想的最小值为，
下证：当时，，在时恒成立，
记函数
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减
；
记函数
，
，
在
上单调减，在
上单调减
，即
；
，成立
又因为
和
不能同时在同一处取到最大值，
所以当时，
恒成立
所以最小整数．
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【题目】在平面直角坐标系中，曲线
的参数方程为
（
，
为参数），以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点
，曲线
的直角坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程；
（2）若
，
是曲线上两点，当
时，求
的取值范围.
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【题目】已知函数 F (x) = e x 满足 F ( x) = g ( x) + h( x) ，且 g ( x), h( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数．
（1）求函数 h(x)的反函数；
（2）已知(x) = g(x 1)，若函数(x)在 [1,3]上满足(2 a+1) 
，求实数 a 的取值范围；
（3）若对于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在
，
，
，
，
，
（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）经计算估计这组数据的中位数；
（2）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率.
（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购，通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
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【题目】如图所示,三棱柱
的侧面
是圆柱的轴截面,C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点。
(1)若圆柱的轴截面是正方形,当点C是弧AB的中点时,求异面直线
与AB的所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
(2)当点C是弧AB的中点时,求四棱锥
体积与圆柱体积的比.
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【题目】每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间
（小时）的频率分布直方图如图所示：
（1）求样本学生一个月阅读时间的中位数
.
（2）已知样本中阅读时间低于的女生有30名，请根据题目信息完成下面的
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.
列联表
男 | 女 | 总计 | |
| |||
| |||
总计 |
附表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 |
其中：
.
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