[题目]已知函数 F (x) = e x 满足 F ( x) = g ( x) + h( x) .且 g ( x), h( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数．(1)求函数 h(x)的反函数,(2)已知(x) = g(x 1).若函数(x)在 [1,3]上满足(2 a+1) .求实数 a 的取值范围,(3)若对于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知函数 F (x) = e x 满足 F ( x) = g ( x) + h( x) ，且 g ( x), h( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数．

（1）求函数 h(x)的反函数；

（2）已知(x) = g(x 1)，若函数(x)在 [1,3]上满足(2 a+1) ，求实数 a 的取值范围；

（3）若对于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由题意可得：，，联立解得：，．由，化为：，，解得．可得．

（2），函数在，上满足，转化为：函数在，上满足：，由于函数在，上单调递增，且函数为偶函数，可得，，，解得范围．

（3）不等式，即，令，由，，可得，，不等式转化为：，，利用基本不等式的性质即可得出．

解：（1）由题意可得：，，

联立解得：，．

由，化为：，，解得．

．

（2），函数在，上满足，

转化为：函数在，上满足：，

由于函数在，上单调递增，且函数为偶函数，

，，，解得．

（3）不等式，即，

令，由，，可得，，

不等式转化为：，，，当且仅当时取等号．

．

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