Question

【题目】

（本题满分15分）已知m＞1，直线，

椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，

的重心分别为.若原点在以线段

为直径的圆内，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】，

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆方程可得椭圆的右焦点坐标将其代入直线方程即可求得的值． （Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消去可得关于的一元二次方程，从而可得两根之积两根之和．根据重心坐标公式分别求得点的坐标，由题意可知，即．根据数量积公式可求得范围．

试题解析：解：（Ⅰ）∵直线：经过，

，得．

又，．

故直线的方程为．

（Ⅱ）设，

由消去得，

∴．

由，得，

由于，故为的中点．

由分别为的重心，可知，

设是的中点，则，

∵原点在以线段为直径的圆内，．

而，

∴，即．

又且，．的取值范围是．