Question

【题目】设，已知函数，.

（Ⅰ）设，求在上的最大值.

（Ⅱ）设，若的极大值恒小于0，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，得出的单调性，因为在区间单调递减，在区间单调递增，所以函数在闭区间上的最大值就是区间端点的函数值中最大的一个，利用作差法比较它们的大小，即可得到函数在上的最大值.

（Ⅱ）利用导数求出函数的极大值，构造函数，，利用导数得出，从而得到，，通过换元并构造函数，利用导数得出函数的最大值，即可证明.

（Ⅰ）由题知，

当时，；当时，

从而的单调递增区间是，递减区间是

从而，,

于是；

当时，，所以;

当时，，所以；

综上所得

（Ⅱ）依题知，则，因为存在极大值，则关于x的方程，有两个不等的正根，不妨，则，得，且,

设列表如下：

	+	0	—	0	+
	+	0	—	0	+
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

从而极大值，又，

从而，对恒成立,

设，，则

因为，所以

所以在上递增，从而

所以，,

设，则，又.

若，；若，；

从而，即.